極限公式で覚えておくべきはたった3つ！証明・導出・覚え方を教えます

この記事を読むとわかること

・高校数学において極限公式は3つだけ覚えてれば十分！

・極限公式の覚え方

・その他の極限公式の導出のしかた

・極限公式の証明方法

大学受験数学で覚えておくべき極限公式は？

極限公式は3つだけ覚えておけばOK！

学校では様々な極限に関する公式を習いますが、極限公式は以下の3つだけを覚えておけば十分です。

高校数学で覚えておくべき極限公式3つ！

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

この3つを覚えるだけなら簡単ですよね。

私は東大の2次試験で数学120点中104点を取っていますが、意識して暗記した極限公式はこの3つだけです。

極限公式の覚え方

上の3つの極限公式はそのまま覚えるのではなく「図で覚える」ことが非常に大事です。極限公式は基本的に傾きの比を表している式だと思いましょう。

下図を見てみると、1つ目の極限公式では$y=\sin{x}$と$y=x$が、2つ目の極限公式では$y=e^x-1$と$y=x$が$x=0$の近くで、傾きが等しくなっていますよね。

このようにして、図で視覚的に覚えておきましょう！

3つ目の極限公式は、教科書によっては$e$の定義またはそれと同値な基本公式として扱われるので、図で覚えるのではなく式の形を押さえます。

その他の極限公式の導出のしかた

学校ではこれら以外にも極限公式を習うはずです。上の3つ以外の極限公式はどうやって覚えればいいのかについて説明していきます。

まず、

$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

の公式は、

$$\begin{align*}\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=&\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)}\\=&\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}\\=&\frac{1}{2}\end{align*}$$

と変形すれば簡単に導くことができます。そもそも三角関数が出てくる極限公式は1つしか知らないのだから、それが使える形に変形しよう、と考えておけばこの変形は容易に思いつきますよね。

 

また、

$\lim_{x\to 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1$

は、図を描いてみれば、

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

の極限の公式を表した図を$y=x$に関して反転させただけだと分かります。

図で極限公式を覚えておくメリットはこんなところにも現れるんですね。

 

最後に、

$\lim_{x\to \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}$

については、3つ目の極限公式が使えるように、

$\lim_{x\to \infty}\left\{\left(\frac{1}{1+\dfrac{1}{x-1}}\right)^{x-1}\right\}^{\frac{x}{x-1}}=\frac{1}{e}$

と変形すれば導出することができます。

極限公式の証明のしかた

上で挙げた極限公式の位置づけを確認しましょう。どの式を定義として採用するかによって証明の出発点は変わります。ある公式を証明するときに、その公式から導かれる微分公式を使ってしまわないことが大切です。

lim(x→0)sinx/x=1の証明

これは、学校で証明を習った人も多いかと思いますが、実は学校で習う証明では不十分です。

この背景には循環論法というものがあり、以下の記事でこの極限公式の簡易的な証明、そして、循環論法にならない正しい証明のしかたについて説明しているので、気になる人は読んでみてください。

関連記事 sinx/xの極限は？x→0とx→∞の場合を証明付きで東大医学部生が教えます！

lim(x→0)(e^x-1)/x=1の位置づけ

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

は、指数関数$e^x$の$x=0$における微分係数が$1$であることを表しています。すでに$(e^x)'=e^x$を証明済みなら、微分係数の定義から直ちに導けます。

ただし、$(e^x)'=e^x$の証明にこの極限公式を使う教科書もあります。その場合、微分公式を使って上の極限を証明すると循環論法になります。入試答案では、教科書で基本公式として認められている範囲に従い、別の公式を導く際に出発点として利用するのが安全です。

極限公式を使うときの確認ポイント

三角関数の角度はラジアン

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

が成り立つのは、$x$をラジアンで測る場合です。度数法のままでは極限値が変わるので、答案では角度の単位を意識しましょう。

公式の形に合わせて変数を置き換える

たとえば、

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$

では、$t=3x$とおくか、

$\frac{\sin 3x}{x}=3\frac{\sin 3x}{3x}$

と変形すれば、極限値が$3$だと分かります。公式を丸暗記するよりも、「分子と分母を同じ変数にそろえる」という判断を身につけることが重要です。

まとめ

・覚えておくべき極限公式は

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

の3つ

・1つ目と2つ目はグラフの形と結び付ける。3つ目は$e$の定義と対応させる

・3つ覚えておけばそれ以外の極限公式も導出できる

・sinx/xの極限の証明は実は難しい

・2つ目の極限公式は3つ目から簡単に導ける